数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 一意性(列ベクトル、一次独立、非零、行列式とその性質)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(線形写像)、6(一意性)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}{E}^1=t_{11}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{1n}{A}^n\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ E^n=t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\\ D\left(E^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,E^n\right)=1\\ D\left(t_{11}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{1n}{A}^n,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)\\ =D\left(t_{11}{A}^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+D\left(t_{1n}{A}^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)\\ =t_{11}D\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{1n}D\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)\\ =\left(t_{11}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{1n}\right)D\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)\\ =T_{1}D\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,t_{n1}{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+t_{nn}{A}^n\right)\end{array}$

   同様のことを繰り返すと、

   $TD\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A^n\right)=1$

   ゆえに、

   $D\left(A^1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A^n\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$