数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(線形と非線形、加法、和、スカラー倍)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 1. 
      

      線形である。
      確認。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1,z_1\right)+\left(x_2,y_2,z_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(x_1+x_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(x_{11}{z}_1\right)+\left(x_2,z_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1,z_1\right)+f\left(x_2,y_2,z_2\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}f\left(c\left(x,y,z\right)\right)\\ =f\left(cx,cy,cz\right)\\ =\left(cx,cz\right)\\ =c\left(x,z\right)\\ =cf\left(x,y,z\right)\end{array}$
   2. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(x+y\right)\\ =-\left(x+y\right)\\ =-x-y\\ =\left(-x\right)+\left(-y\right)\\ =f\left(x\right)+f\left(y\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}f\left(cx\right)\\ =-cx\\ =c\left(-x\right)\\ =cf\left(x\right)\end{array}$
   3. 
      

      線形ではない。

      $\begin{array}{}f\left(2\left(0,0,0\right)\right)\\ =f\left(0,0,0\right)\\ =\left(0,0,0\right)+\left(0,-1,0\right)\\ =\left(0,-1,0\right)\\ 2f\left(0,0,0\right)\\ =2\left(\left(0,0,0\right)+\left(0,-1,0\right)\right)\\ =2\left(0,-1,0\right)\\ =\left(0,-2,0\right)\\ f\left(2\left(0,0,0\right)\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->2f\left(0,0,0\right)\end{array}$
   4. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right),y_1+y_2\right)\\ =\left(2x_1+y_1,y_1\right)+\left(2x_2+y_{21}{y}_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}f\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =f\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx+cy,cy\right)\\ =c\left(2x+y,y\right)\\ =cf\left(x,y\right)\end{array}$
   5. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(z{\left(x_1+x_2\right)}_1\left(y_1+y_2\right)-\left(x_1+x_2\right)\right)\\ =\left(2x_1,y_1-x_1\right)+(2x_2,\left(z-x_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}f\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =f\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx,cy-cx\right)\\ =c\left(2x,y-x\right)\\ =cf\left(x,y\right)\end{array}$
   6. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}f\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =f\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(y_1+y_2,x_1+x_2\right)\\ =\left(y_1,x_1\right)+\left(y_2,x_2\right)\\ =f\left(x_1,y_1\right)+f\left(x_2,y_2\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}f\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =f\left(cx,cy\right)\\ =\left(cy,cx\right)\\ =c\left(y,x\right)\\ =cf\left(x,y\right)\end{array}$
   7. 
      

      線形ではない。

      $\begin{array}{}f\left(\left(0,1\right)+\left(1,0\right)\right)\\ =f\left(1,1\right)\\ =1\\ f\left(0,1\right)+f\left(1,0\right)\\ =0+0\\ =0\\ f\left(\left(0,1\right)+\left(1,0\right)\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->f\left(0,1\right)+f\left(1,0\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix


def fa(v):
    return Matrix(v[::2])


def fb(v):
    return -v


def fc(v):
    return v + Matrix([0, -1, 0])

v = Matrix(symbols('x1, y1, z1'))
u = Matrix(symbols('x2, y2, z2'))
c = symbols('c')

for f in [fa, fb, fc]:
    for s in [f.__name__, f(v + u) == f(v) + f(u), f(c * v) == c * f(v)]:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample0.py
⎡x₁ + x₂⎤
⎢       ⎥
⎣y₁ + y₂⎦

⎡x₁ + x₂⎤
⎢       ⎥
⎣y₁ + y₂⎦

True


⎡a⋅x₁⎤
⎢    ⎥
⎣a⋅y₁⎦

⎡a⋅x₁⎤
⎢    ⎥
⎣a⋅y₁⎦

True


$