数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(4-次正方行列、複素数、等式)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題5.を取り組んでみる。

5. 1. 
      
      $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -x^2& x& 1& 0\\ 0& 0& x& 1\\ 1& 0& 0& x\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& x^2& 1& 0\\ 0& 0& x& 1\\ 0& -1& 0& x\end{array})\\ =x^4-1$
      $\begin{array}{}{x}^4-1=0\\ \left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)=0\\ \left(x^2+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->i\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\det (\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -x^2& x& x& 1-x^2\\ 1-x^2& x& x& -x^2\\ x& 0& 1& x\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{ccc}{x}^2& x& 1-x^2\\ x^2-1& x& -x^2\\ -x& 1& x\end{array})\\ =\det (\begin{array}{ccc}2x^2& x& 1-2x^2\\ 2x^2-1& x& -2x^2\end{array})\\ 010\\ =\left(1-2x^2\right)\left(2x^2-1\right)-\left(-4x^4\right)\\ =-4x^4+4x^2-1+4x^4\\ =4x^2-1$
      $\begin{array}{}4x^2-1=0\\ \left(2x+1\right)\left(2x-1\right)=0\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\frac{1}{2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

x = symbols('x')
A = Matrix([x, 1, 0, 0, 0, x, 1, 0, 0, 0, x, 1, 1, 0, 0, x]).reshape(4, 4)
B = Matrix([x, 1, 0, x, 0, x, x, 1, 1, x, x, 0, x, 0, 1, x]).reshape(4, 4)

for i, M in enumerate([A, B]):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [M, M.det(), solve(M.det())]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
(a)
⎡x  1  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  x  1  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  x  1⎥
⎢          ⎥
⎣1  0  0  x⎦

 4    
x  - 1

[-1, 1, -ⅈ, ⅈ]


(b)
⎡x  1  0  x⎤
⎢          ⎥
⎢0  x  x  1⎥
⎢          ⎥
⎢1  x  x  0⎥
⎢          ⎥
⎣x  0  1  x⎦

   2    
4⋅x  - 1

[-1/2, 1/2]


$