数学 - 解析学 - 多変数の関数 - 微分可能性と勾配ベクトル(実n次元空間、開集合、偏微分、有界、連続性)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   x を U の任意の点、 h を x と x + h を結ぶ直線がUに含まれる点とする。

   このとき、

   $\begin{array}{}f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\\ =\left(f\left(x_1+h_1,x_2+h_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)-f\left(x_1,x_2+h_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)\right)\\ +\left(f\left(x_1,x_2+h_2,·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->-,x_n+h_n\right)-f\left(x_1,x_2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ +\left(f\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_{n-1},x_n+h_n\right)-f\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_{n-1},x_n\right)\right)\\ =h_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{f\left(x_1+h_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)-f\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)}{h_1}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ +h_n·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{f\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)-f\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)}{h_n}\end{array}$
   $\left|h\right|\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0$

   のとき、

   $\begin{array}{}\left|f\left(x+h\right)-f\left(h\right)\right|\\ =\left|h_{1}D{f}_1\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+h_n\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+h_{n}D{f}_n\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)\right|\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left|h_1\right|M_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left|h_n\right|M_n\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(\left|h_1\right|+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left|h_n\right|\right)M\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\end{array}$

   よって、 f は U において連続である。

   （証明終）