2017年11月18日土曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題6.を取り組んでみる。


  1. t n = 1

    のとき成り立つことは明らか。

    t n 1

    の場合

    f k = 1 n - 1 s k a k k = 1 n - 1 s k f a k f k = 1 n - 1 s k a k + t n 1 - t n f a n k = 1 n - 1 s k f a k + t n 1 - t n f a n 1 - t n f k = 1 n - 1 s k a k + t n f a n 1 - t n k = 1 n - 1 s k f a k + t n f a n 1 - t n f k = 1 n - 1 t k 1 - t n a k + t n f a n k = 1 n - 1 t k f a k + t n f a n = k = 1 n t k f a k
    1 - t n + t n = 1 , 1 - t n 0 , t n 0 f 1 - t n k = 1 n - 1 t k 1 - t n a k + t n a n 1 - t n f k = 1 n - 1 t k 1 - t n a k + t n f a n f k = 1 n - 1 t k a k + t n a n 1 - t n f k = 1 n - 1 t k 1 - t n a k + t n f a n f k = 1 n t k a k 1 - t n f k = 1 n - 1 t k 1 - t n a k + t n f a n
    f k = 1 n t k a k k = 1 n t k f a k

    よって帰納法により、すべての正の整数に対して成り立つ。

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