数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(行列を配置して得られる行列、積、一般化)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題11.を取り組んでみる。

行列Bの(i, j)成分について考え、成分表示してみる。
$\begin{array}{l} 1 \leq i \leq l_{1} \\ 1 \leq j \leq m_{1} \\ B = (B_{11} の (i, j) 成分) \\ m_{1} + 1 \leq j \leq m_{2} \\ B = (B_{12} の (i, j - m_{1}) 成分) \\ l_{1} + 1 \leq i \leq l_{2} \\ 1 \leq j \leq m_{1} \\ B = (B_{21} の (i - l_{1}, j) 成分) \\ m_{1} + 1 \leq j \leq m_{2} \\ B = (B_{22} の (i - l_{1}, j - m_{1}) 成分) \end{array}$
同様に行列Aの(i, j)成分について考え、Aの成分表示を考えてみる。
$\begin{array}{l} 1 \leq i \leq m_{1} \\ 1 \leq j \leq n_{1} \\ A = (A_{11} の (i, j) 成分) \\ n_{1} + 1 \leq j \leq n_{2} \\ A = (A_{12} の (i, j - n_{1}) 成分) \\ m_{1} + 1 \leq i \leq m_{2} \\ 1 \leq j \leq n_{1} \\ A = (A_{21} の (i - m_{1}, j) 成分) \\ n_{1} + 1 \leq j \leq n_{2} \\ A = (A_{22} の (i - m_{1}, j - n_{1}) の成分) \end{array}$
行列の積BAの(i, j)成分について考えてみる。
$\begin{array}{l} 1 \leq i \leq l_{1} \\ 1 \leq j \leq n_{1} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{11} (i, k)) \cdot (A_{11} (k, j))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{12} (i, k - m_{1})) \cdot (A_{21} (k - m_{1}, j)))) \\ n_{1} + 1 \leq j \leq n_{2} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{11} (i, k)) \cdot (A_{12} (k, j - n_{1}))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{12} (i, k - m_{1})) \cdot (A_{22} (k - m_{1}, j - n_{1})))) \\ l_{1} + 1 \leq i \leq l_{2} \\ 1 \leq j \leq n_{1} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{21} (i - l_{1}, k)) \cdot (A_{11} (k, j))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{12} (i - l_{1}, k - m_{1})) \cdot (A_{21} (k - m_{1}, j)))) \\ n_{1} + 1 \leq j \leq n_{2} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{21} (i - l_{1}, k)) \cdot (A_{12} (k, j - n_{1}))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{22} (i - l_{1}, k - m_{1})) \cdot (A_{22} (k - m_{1}, j - n_{1})))) \end{array}$
問題の等式の右辺の行列の(i, j)成分について考える。
$\begin{array}{l} 1 \leq i \leq l_{1} \\ 1 \leq j \leq n_{1} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{11} (i, k)) \cdot (A_{11} (k, j))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{12} (i, k - m_{1})) \cdot (A_{21} (k - m_{1}, j)))) \\ n_{1} + 1 \leq j \leq n_{2} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{11} (i, k)) \cdot (A_{12} (k, j - n_{1}))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{12} (i, k - m_{1})) \cdot (A_{22} (k - m_{1}, j - n_{1})))) \\ l_{1} + 1 \leq i \leq l_{2} \\ 1 \leq j \leq n_{1} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{21} (i - l_{1}, k)) \cdot (A_{11} (k, j))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{12} (i - l_{1}, k - m_{1})) \cdot (A_{21} (k - m_{1}, j)))) \\ n_{1} + 1 \leq j \leq n_{2} \\ (\sum_{k = 1}^{m_{1}} ((B_{21} (i - l_{1}, k)) \cdot (A_{12} (k, j - n_{1}))) + \sum_{k = m_{1} + 1}^{m_{j}} ((B_{22} (i - l_{1}, k - m_{1})) \cdot (A_{22} (k - m_{1}, j - n_{1})))) \end{array}$
よって、左辺と右辺の(i, j)成分は一致するので、問題の等号は成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import functools

print('11.')
m1 = 1
m2 = 2
n1 = 2
n2 = 3
l1 = 3
l2 = 2

BS = [Matrix(range(l * m)).reshape(l, m)
      for l in [l1, l2]
      for m in [m1, m2]]
B = Matrix([BS]).reshape(2, 2)
AS = [Matrix(range(m * n)).reshape(m, n)
      for m in [m1, m2]
      for n in [n1, n2]]
A = Matrix([AS]).reshape(2, 2)

for t in [B, A, B * A]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
11.
⎡⎡0⎤  ⎡0  1⎤⎤
⎢⎢ ⎥  ⎢    ⎥⎥
⎢⎢1⎥  ⎢2  3⎥⎥
⎢⎢ ⎥  ⎢    ⎥⎥
⎢⎣2⎦  ⎣4  5⎦⎥
⎢           ⎥
⎢⎡0⎤  ⎡0  1⎤⎥
⎢⎢ ⎥  ⎢    ⎥⎥
⎣⎣1⎦  ⎣2  3⎦⎦

⎡[0  1]  [0  1  2]⎤
⎢                 ⎥
⎢⎡0  1⎤  ⎡0  1  2⎤⎥
⎢⎢    ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎣⎣2  3⎦  ⎣3  4  5⎦⎦

⎡⎡2   3 ⎤  ⎡3   4   5 ⎤⎤
⎢⎢      ⎥  ⎢          ⎥⎥
⎢⎢6   12⎥  ⎢9   15  21⎥⎥
⎢⎢      ⎥  ⎢          ⎥⎥
⎢⎣10  21⎦  ⎣15  26  37⎦⎥
⎢                      ⎥
⎢⎡2  3 ⎤   ⎡3  4   5 ⎤ ⎥
⎢⎢     ⎥   ⎢         ⎥ ⎥
⎣⎣6  12⎦   ⎣9  15  21⎦ ⎦

$

Kamimura's blog

2017年10月18日水曜日

数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(行列を配置して得られる行列、積、一般化)

0 コメント:

コメントを投稿