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金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回は一週間無料で読めます。公式RTしてから読みにいってね！
— 結城浩 (@hyuki) 2017年9月28日
「関数を手がかりに」第5章 第209回 逆転インバース（前編）https://t.co/YIItqx3t1j
逆転インバース（前編）｜数学ガールの秘密ノートの割り算の微分、分数関数の微分を、《暗記テスト》でも《思考テスト》でもなく、《定義テスト》で考えてみる。
定義テストで考えてみた理由は、関数の微分、導関数を求めるのに累乗(べき乗)、三角関数、指数関数・対数関数等のいろいろ簡単な公式を使用して計算を多くしているうちに、元々の定義を忘れがちになる場合があるかなぁと思ったから。
テイラー展開とか計算してるうちにいつの間にか、微分がグラフの点における接線の傾き、ニュートン商の極限(素朴な定義？)であることを忘れてしまう人が多いとか？(ということで、時には接線の集まりを書くようにしてたりします。https://t.co/TEamfDBcx9 )
— kamimura (@mkamimura) 2017年6月10日
ということで、早速定義に立ち返って分数関数の微分を求めてみる。
ということで、次のことが成り立つ。
一応 Python(SymPy)で確認。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy import pprint, symbols, Function, Derivative, Limit
x, h = symbols('x, h')
f = Function('f')
g = Function('g')
F = g(x) / f(x)
for t in [f, g, F]:
pprint(t)
print()
D = Derivative(F, x, 1)
for t in [D, D.doit()]:
pprint(t.factor())
print()
for d in ["-", "+"]:
l = Limit((F.subs({x: x + h}) - F) / h, h, 0)
for t in [l, l.doit()]:
pprint(t)
print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample25.py
f
g
g(x)
────
f(x)
d ⎛g(x)⎞
──⎜────⎟
dx⎝f(x)⎠
⎛ d d ⎞
-⎜- f(x)⋅──(g(x)) + g(x)⋅──(f(x))⎟
⎝ dx dx ⎠
───────────────────────────────────
2
f (x)
⎛g(h + x) g(x)⎞
⎜──────── - ────⎟
⎜f(h + x) f(x)⎟
lim ⎜───────────────⎟
h─→0⁺⎝ h ⎠
⎛ ⎛ d ⎞│ ⎛ d ⎞│ ⎞
-⎜- f(x)⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│ + g(x)⋅⎜───(f(ξ₁))⎟│ ⎟
⎝ ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=x ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=x⎠
─────────────────────────────────────────────────────
2
f (x)
⎛g(h + x) g(x)⎞
⎜──────── - ────⎟
⎜f(h + x) f(x)⎟
lim ⎜───────────────⎟
h─→0⁺⎝ h ⎠
⎛ ⎛ d ⎞│ ⎛ d ⎞│ ⎞
-⎜- f(x)⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│ + g(x)⋅⎜───(f(ξ₁))⎟│ ⎟
⎝ ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=x ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=x⎠
─────────────────────────────────────────────────────
2
f (x)
$
HTML5
<div id="graph0"></div> <pre id="output0"></pre> <label for="r0">r = </label> <input id="r0" type="number" min="0" value="0.5"> <label for="dx">dx = </label> <input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001"> <br> <label for="x1">x1 = </label> <input id="x1" type="number" value="-5"> <label for="x2">x2 = </label> <input id="x2" type="number" value="5"> <br> <label for="y1">y1 = </label> <input id="y1" type="number" value="-5"> <label for="y2">y2 = </label> <input id="y2" type="number" value="5"> <br> <label for="dx0">dx0 = </label> <input id="dx0" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.05"> <button id="draw0">draw</button> <button id="clear0">clear</button> <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script> <script src="sample.js"></script>
JavaScript
let div0 = document.querySelector('#graph0'),
pre0 = document.querySelector('#output0'),
width = 600,
height = 600,
padding = 50,
btn0 = document.querySelector('#draw0'),
btn1 = document.querySelector('#clear0'),
input_r = document.querySelector('#r0'),
input_dx = document.querySelector('#dx'),
input_x1 = document.querySelector('#x1'),
input_x2 = document.querySelector('#x2'),
input_y1 = document.querySelector('#y1'),
input_y2 = document.querySelector('#y2'),
input_dx0 = document.querySelector('#dx0'),
inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
input_dx0],
p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
range = (start, end, step=1) => {
let res = [];
for (let i = start; i < end; i += step) {
res.push(i);
}
return res;
};
let f = (x) => Math.sin(x),
g = (x) => x ** 2,
f1 = (x) => Math.cos(x),
g1 = (x) => 2 * x,
fg = (x) => f(x) / g(x),
fg1 = (x) => (f1(x) * g(x) - f(x) * g1(x)) / g(x) ** 2,
h = (x0) => (x) => fg1(x0) * (x - x0) + fg(x0);
let draw = () => {
pre0.textContent = '';
let r = parseFloat(input_r.value),
dx = parseFloat(input_dx.value),
x1 = parseFloat(input_x1.value),
x2 = parseFloat(input_x2.value),
y1 = parseFloat(input_y1.value),
y2 = parseFloat(input_y2.value),
dx0 = parseFloat(input_dx0.value);
if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
return;
}
let points = [],
lines = [],
fns = [[f, 'red'],
[g, 'green'],
[fg, 'blue']],
fns1 = [],
fns2 = [[h, 'orange']];
fns
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
let y = f(x);
points.push([x, y, color]);
}
});
fns2
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
let g = f(x);
lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
}
});
let xscale = d3.scaleLinear()
.domain([x1, x2])
.range([padding, width - padding]);
let yscale = d3.scaleLinear()
.domain([y1, y2])
.range([height - padding, padding]);
let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
div0.innerHTML = '';
let svg = d3.select('#graph0')
.append('svg')
.attr('width', width)
.attr('height', height);
svg.selectAll('line')
.data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
.enter()
.append('line')
.attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
.attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
.attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
.attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
.attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
svg.selectAll('circle')
.data(points)
.enter()
.append('circle')
.attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
.attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
.attr('r', r)
.attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
.call(xaxis);
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
.call(yaxis);
[fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};
inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();
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