数学 - 線型代数 - 線型写像 - 写像(II)(合成写像、全射、単射、全単射)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、2(写像(II))、問題4、5、6.を取り組んでみる。

4. 
   

   sをSの任意の元とする。

   fは全射なのでf(r) = s を満たすRの元rが存在する。

   $\begin{array}{l}g\left(s\right)\\ =g\left(f\left(r\right)\right)\\ =\left(g\circ f\right)\left(r\right)\\ =\left(g\text{'}\circ f\right)\left(r\right)\\ =g\text{'}\left(f\left(r\right)\right)\\ =g\text{'}\left(x\right)\end{array}$
5. 
   

   rをRの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(s\right)=\left(g\circ f\text{'}\right)\left(s\right)\\ \Rightarrow \\ g\left(f\left(s\right)\right)=g\left(f\text{'}\left(s\right)\right)\end{array}$

   は単射なので、f(s) = f'(s)。

6. 
   

   sをSの任意の元とする。

   g(s) = tとする。

   合成写像g ○ fは全射なので(g ○ f)(r) = t を満たすRの元rが存在する。

   g(f(r)) = g(s)。

   gは単射なので、f(r) = s。

   よって、fは全射。

   tをTの任意の元とする。

   合成写像g ○ fは全射なので、(g ○ f)(r) = tを満たすRの元rが存在する。

   g(f(r)) = t。

   よってgは全射。

   また、問題の仮定よりgは単射でもあるので、gは全単射。