数学 – 代数学 - 群 - 部分群と生成系(左剰余類全部の集合と右剰余類全部の集合、全単射、代表、一意性)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   代表のとり方によらず一意的に定まる。

   $\begin{array}{l}a\equiv b\left(\mathrm{mod}H\right)\\ a^{-1}b\in H\\ a^{-1}b=h\\ a^{-1}=h{b}^{-1}\\ b^{-1}=h^{-1}{a}^{-1}\\ \\ h\text{'}{a}^{-1}\in H{a}^{-1}\\ h\text{'}{a}^{-1}\\ =h\text{'}h{b}^{-1}\\ =h\text{'}\text{'}{b}^{-1}\in H{b}^{-1}\\ \left(h\text{'}h=h\text{'}\text{'}\in H\right)\\ \\ h\text{'}{b}^{-1}\in H{b}^{-1}\\ h\text{'}{b}^{-1}\\ =h\text{'}{h}^{-1}{a}^{-1}\\ =h\text{'}\text{'}{a}^{-1}\in H{a}^{-1}\\ \left(h\text{'}{h}^{-1}=h\text{'}\text{'}\in H\right)\\ \\ H{b}^{-1}=H{a}^{-1}\end{array}$

   全射について。

   $\begin{array}{l}H{a}^{-1}\in Q_r\\ aH\in Q_l\end{array}$

   単射について。

   $\begin{array}{l}aH,bH\in Q_l\\ H{a}^{-1}=H{b}^{-1}\\ H{a}^{-1}b=H\\ \\ a\equiv b\left(\mathrm{mod}H\right)\\ aH=bH\end{array}$