2017年8月14日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、3(凸関数)、練習問題6.を取り組んでみる。


  1. x= x 0 における接線の方程式を y = g(x)とする。

    h( x )=f( x )g( x ) h'( x )=f'( x )g'( x ) g( x )=f'( x 0 )( x x 0 )+f( x 0 ) g'( x )=f'( x 0 ) h'( x )=f'( x )f'( x 0 )

    平均値の定理を利用。

    h( x )=f( x )g( x ) h'( x )=f'( x )g'( x ) g( x )=f'( x 0 )( x x 0 )+f( x 0 ) g'( x )=f'( x 0 ) h'( x )=f'( x )f'( x 0 ) x< x 0 f'( x 0 )f'( x ) x 0 x =f''( c ) f'( x 0 )f'( x )=f''( c )( x 0 x ) f''( c )>0, x 0 x>0 f'( x 0 )f'( x )>0 f'( x )f'( x 0 )<0 h'( x )<0 x> x 0 f'( x )f'( x 0 ) x x 0 =f''( c ) f'( x )f'( x 0 )=f''( c )( x x 0 ) f''( c )>0,x x 0 >0 f'( x )f'( x 0 )>0 h'( x )>0 h'( x 0 )=f'( x 0 )f'( x 0 )=0 h( x 0 )=f( x 0 )g( x 0 ) =f( x 0 )( f'( x 0 )( x 0 x 0 )+f( x 0 ) ) =0

    よって、f(x)は、 x< x 0 で減少、 x> x 0 で増加、 f( x 0 )=0 となる。

    ゆえに、g(x)は、 x= x 0 を除き、fのグラフの下側にある。

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