数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の定義と例(線型かどうか)

線型代数入門

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、3(線型写像の定義と例)、問3.を取り組んでみる。

問3.

1. 
   $\begin{array}{l}F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1+x_2+1,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1+1,y_1\right)+\left(x_2+1,y_2\right)+\left(-1,0\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)+\left(-1,0\right)\\ 線型ではない。\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(y_1+y_2,x_1+x_2\right)\\ =\left(y_1,x_1\right)+\left(y_2,x_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ 線型。\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1+x_2,-2\left(y_1+y_2\right),0\right)\\ =\left(x_1,2y_1,0\right)+\left(x_2,-2y_2,0\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ 線型。\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left({\left(x_1+x_2\right)}^2,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1^2,y_1\right)+\left(x_2{}^2,y_2\right)+\left(2x_1{x}_2,0\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)+\left(2x_1{x}_2,0\right)\\ 線型ではない。\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}F\left(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(y_1+y_2+z_1+z_2,z_1+z_2+x_1+x_2\right)\\ =\left(y_1+z_1,z_1+x_1\right)+\left(y_2+z_2,z_2+x_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1,z_1\right)+F\left(x_2,y_2,z_2\right)\\ 線型。\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}F\left(x_1+x_2\right)\\ =a\left(x_1+x_2\right)+b\\ =a{x}_1+a{x}_2+b+b-b\\ =F\left(x_1\right)+F\left(x_2\right)-b\\ b=0のとき、線型。\\ b\ne 0のとき、線型ではない。\end{array}$