数学 – 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(像, 逆像, 和集合, 共通部分)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題4.を解いてみる。

問題4.

$\begin{array}{l}x\in f\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{P}_{\lambda }}\right)\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in f\left(P_{\lambda }\right)\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }f\left(P_{\lambda }\right)}\\ \\ x\in f\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{P}_{\lambda }}\right)\\ \Rightarrow \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in f\left(P_{\lambda }\right)\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }f\left(P_{\lambda }\right)}\\ \\ x\in f^{-1}\left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{Q}_{\mu }}\right)\\ \iff \exists \mu \in M\left[f\left(x\right)\in Q_{\mu }\right]\\ \iff \exists \mu \in M\left[x\in f^{-1}\left(Q_{\mu }\right)\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{f}^{-1}\left(Q_{\mu }\right)}\\ \\ x\in f^{-1}\left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{Q}_{\mu }}\right)\\ \iff \forall \mu \in M\left[f\left(x\right)\in Q_{\mu }\right]\\ \iff \forall \mu \in M\left[x\in f^{-1}\left(Q_{\mu }\right)\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{f}^{-1}\left(Q_{\mu }\right)}\end{array}$