数学学習の記録 241 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問13

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問13を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問13

点Pは準線x=-p上にあるので、点Pの座標を

P(-p, b)

とおく。点Pを通る傾きmの直線の方程式は

y=m(x+p)+b

これを問題の放物線の方程式に代入すると

$(m(x+p)+b)^{2}=4px$

$(mx+mp+b)^{2}-4px=0$

$m^{2}x^{2}+2(m^{2}p+mb-2p)x+(mp+b)^{2}=0$

上記の傾きmの直線が問題の放物線に接するにはこの等式がxについて重解を持てば良いので判別式を考え、

$(m^{2}p+mb-2p)^{2}-m^{2}(mp+b)^{2}=0$

$(-4p^{2}+b^{2}-b^{2})m^{2}-4pm+4p^{2}=0$

$pm^{2}+bm-p=0$

よってこの2次方程式のmに関する開の2つの積は

$\frac{-p}{p}=-1$

となる。よって放物線

$y^{2}=4px$

の準線

x=-p

上の任意の点Pから放物線にひいた2本の接線は直交する。

(証明終)

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